Условие
Найдите значение log_2(3^2)·log_3(5^3)·log_5(2^2).
Подсказка
Вынесите показатели 2, 3 и 2 из логарифмов.
После этого запишите log_23, log_35 и log_52 через натуральные логарифмы: все множители сократятся.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Правила логарифмов
Для log_a(b) нужны a>0, a≠1 и b>0. Равенство log_a(b)=c означает b=a^c. Сумму логарифмов одного основания можно заменить логарифмом произведения только при положительности обоих аргументов. В неравенстве основание a>1 сохраняет знак, а 0<a<1 меняет его.
- Намечаем ход решения
Вынесите показатели 2, 3 и 2 из логарифмов. После этого запишите log_23, log_35 и log_52 через натуральные логарифмы: все множители сократятся.
- Выполняем преобразование
По свойству логарифма выражение равно 2·3·2·log_23·log_35·log_52.
- Выполняем преобразование
По формуле перехода к новому основанию произведение трёх логарифмов равно (ln 3/ln 2)·(ln 5/ln 3)·(ln 2/ln 5)=1.
- Выполняем преобразование
Значение выражения: 2·3·2=12.
Ответ: 12