Условие
Высота кабинки колеса обозрения над землёй через t минут после посадки задаётся формулой h(t) = 50 − 40·cos(πt/15) (h в метрах); один полный оборот колесо делает за 30 минут. Фотограф может снять кабинку, только когда она находится на высоте от 30 до 70 м включительно. Сколько минут в течение одного оборота кабинка доступна для съёмки?
Подсказка
Вычтите 50 и разделите на −40, не забыв перевернуть знаки неравенств.
За один оборот кабинка проходит нужную полосу высот дважды: на подъёме и на спуске.
Показать ответ
10
Пошаговое решение
- Записываем двойное неравенство
30 ≤ 50 − 40·cos(πt/15) ≤ 70. Вычитаем 50: −20 ≤ −40·cos(πt/15) ≤ 20. Делим на −40, меняя знаки неравенств: −1/2 ≤ cos(πt/15) ≤ 1/2.
- Решаем на одном обороте
При 0 ≤ t ≤ 30 аргумент φ = πt/15 пробегает [0; 2π]. Условие −1/2 ≤ cos φ ≤ 1/2 выполняется на двух дугах: φ ∈ [π/3; 2π/3] (кабинка поднимается) и φ ∈ [4π/3; 5π/3] (кабинка опускается).
- Переводим углы в минуты
t = 15φ/π: первая дуга даёт t ∈ [5; 10], вторая — t ∈ [20; 25]. Проверка: h(5) = 50 − 40·(1/2) = 30, h(10) = 50 − 40·(−1/2) = 70.
- Складываем промежутки
(10 − 5) + (25 − 20) = 10 минут. Типичная ошибка — учесть только подъём (первую дугу) и получить 5 минут: на спуске кабинка проходит ту же полосу высот ещё раз.
Ответ: 10