Условие
К источнику тока с ЭДС ε = 12 В и внутренним сопротивлением r = 3 Ом подключают нагрузку сопротивлением R Ом. Мощность, выделяющаяся на нагрузке, равна P = ε²R/(R + r)² (в ваттах). При каком наибольшем сопротивлении нагрузки эта мощность будет не меньше 9 Вт? Ответ дайте в омах.
Подсказка
Умножьте неравенство на (R + r)² — это положительное число.
Получится квадратное неравенство; найдите промежуток его решений и выберите нужный конец.
Показать ответ
9
Пошаговое решение
- Составляем неравенство
12²·R/(R + 3)² ≥ 9, то есть 144R/(R + 3)² ≥ 9.
- Избавляемся от знаменателя
(R + 3)² > 0, умножаем обе части: 144R ≥ 9(R + 3)². Делим на 9: 16R ≥ R² + 6R + 9.
- Получаем квадратное неравенство
R² − 10R + 9 ≤ 0. Корни уравнения R² − 10R + 9 = 0 по теореме Виета: R = 1 и R = 9. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполнено при 1 ≤ R ≤ 9.
- Выбираем нужный конец промежутка
Спрашивают наибольшее сопротивление, значит, R = 9. Проверка: 144·9/(9 + 3)² = 1296/144 = 9 Вт. Типичная ошибка — ответить 1: это наименьшее подходящее сопротивление. Мощность мала и при слишком маленьком, и при слишком большом R.
Ответ: 9