Условие
Численность рыб в новом пруду через t суток после зарыбления описывается формулой N(t) = 3500/(1 + 3·2^(−t/4)). Через сколько суток после зарыбления численность рыб достигнет 3200?
Подсказка
Найдите, чему должен быть равен знаменатель дроби, если N = 3200.
После вычитания единицы и деления на 3 останется степень двойки.
Показать ответ
20
Пошаговое решение
- Понимаем модель
При t = 0 знаменатель 1 + 3 = 4, и N(0) = 3500/4 = 875. С ростом t слагаемое 3·2^(−t/4) уменьшается, знаменатель стремится к 1, а N(t) растёт и приближается к 3500 — ёмкости пруда.
- Переворачиваем дробь
3500/(1 + 3·2^(−t/4)) = 3200 ⇔ 1 + 3·2^(−t/4) = 3500/3200 = 35/32.
- Выделяем степень
3·2^(−t/4) = 35/32 − 1 = 3/32, откуда 2^(−t/4) = 1/32 = 2^(−5).
- Решаем и проверяем
−t/4 = −5, t = 20. Проверка: 2^(−5) = 1/32, знаменатель 1 + 3/32 = 35/32, N = 3500·(32/35) = 3200. Типичная ошибка — забыть вычесть единицу: из 3·2^(−t/4) = 35/32 степень двойки не выделяется, и решение заходит в тупик.
Ответ: 20