Условие
Глубина воды в гавани меняется из-за приливов по закону H(t) = 5 + 2·sin(πt/6), где t — время в часах, прошедшее с полуночи, H — глубина в метрах. Найдите первый момент после полудня, когда глубина равна 6 м и при этом уменьшается. В ответе укажите значение t для этого момента, то есть число часов, прошедших с полуночи.
Подсказка
Приравняйте H(t) к 6 и запишите обе серии решений уравнения sin φ = 1/2.
Из моментов после полудня выберите тот, где глубина проходит 6 м сверху вниз (после максимума).
Показать ответ
17
Пошаговое решение
- Составляем уравнение
5 + 2·sin(πt/6) = 6, откуда sin(πt/6) = 1/2.
- Записываем все решения
sin φ = 1/2 при φ = π/6 + 2πk или φ = 5π/6 + 2πk. Так как φ = πt/6, получаем t = 1 + 12k или t = 5 + 12k, где k — целое. Период прилива 12 часов.
- Отбираем моменты после полудня
При t > 12 первые решения: t = 13 (k = 1 в первой серии) и t = 17 (k = 1 во второй).
- Проверяем, растёт или убывает глубина
При t = 13 угол φ = 2π + π/6 лежит между минимумом синуса (φ = 2π − π/2, t = 9) и максимумом (φ = 2π + π/2, t = 15) — синус растёт, вода прибывает. При t = 17 угол φ = 2π + 5π/6 уже после максимума — синус убывает, вода уходит. Значит, ответ 17. Ошибка — взять первый корень после полудня, 13: в этот момент вода поднимается.
Ответ: 17