Условие
Решите неравенство (x + 3)(x − 1)(x − 5) < 0. Сколько его целых решений принадлежит отрезку [−5; 6]?
Подсказка
Отметьте нули всех множителей на числовой прямой.
Определите знак произведения на самом правом интервале, дальше знаки чередуются.
Показать ответ
5
Пошаговое решение
- Находим нули множителей
Каждая скобка обращается в ноль в одной точке: x = −3, x = 1, x = 5. Неравенство строгое, поэтому эти точки на прямой выколоты.
- Расставляем знаки на интервалах
При x > 5 все три скобки положительны, произведение со знаком «+». Каждый корень встречается один раз, поэтому при переходе через него знак меняется: на (1; 5) «−», на (−3; 1) «+», на (−∞; −3) «−».
- Записываем решение
Нужен знак «−»: x < −3 или 1 < x < 5.
- Отбираем целые числа на отрезке
Из луча x < −3 на отрезке [−5; 6] лежат −5 и −4; из интервала (1; 5) — 2, 3, 4. Всего 5. Типичная ошибка — включить −3, 1 и 5: в них произведение равно 0, а 0 < 0 неверно.
Ответ: 5