Условие
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH. Она делит гипотенузу на отрезки AH=4 и HB=9. Найдите высоту CH.
Подсказка
Треугольники ACH и CBH подобны.
Высота к гипотенузе — среднее пропорциональное отрезков, на которые она делит гипотенузу.
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Находим подобные треугольники
Высота CH делит треугольник ABC на прямоугольные треугольники ACH и CBH. Угол ACH равен 90°−∠A, то есть углу B. Значит, треугольники ACH и CBH подобны по двум углам.
- Составляем пропорцию
Из подобия AH/CH=CH/HB, откуда CH²=AH·HB: высота к гипотенузе — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы.
- Вычисляем высоту
Подставляем данные отрезки: CH²=AH·HB=4·9=36, CH=√36=6.
- Проверяем по теореме Пифагора
AC²=4²+6²=52, BC²=9²+6²=117, AC²+BC²=169=13²=AB². Всё сходится. Типичная ошибка — брать среднее арифметическое (4+9):2 вместо среднего пропорционального.
Ответ: 6