Условие
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведены высота CH и медиана CM. CH=12, CM=13. Найдите площадь треугольника ABC.
Подсказка
Как связаны медиана к гипотенузе и сама гипотенуза?
К какой стороне проведена высота CH? Площадь — половина произведения этой стороны на высоту.
Показать ответ
156
Пошаговое решение
- Находим гипотенузу по медиане
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине (M — центр описанной окружности). Поэтому AB=2·CM=2·13=26.
- Выбираем формулу площади
CH — высота, проведённая к стороне AB. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту к ней: S=AB·CH/2. Катеты для этого не нужны.
- Считаем площадь
Подставляем гипотенузу и высоту к ней: S=AB·CH/2=26·12/2=156.
- Проверяем и отмечаем ошибку
Высота делит гипотенузу на отрезки 8 и 18: 8+18=26, 8·18=144=12² — такой треугольник существует. Типичная ошибка — взять за основание медиану: 13·12/2=78, но высота CH проведена к AB, а не к CM.
Ответ: 156