Условие
Диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O, причём AO=3, OC=9, BO=4, OD=7. Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
Подсказка
Разбейте четырёхугольник диагональю AC на два треугольника.
Отрезки BO и OD перпендикулярны AC — это высоты треугольников.
Показать ответ
66
Пошаговое решение
- Делим четырёхугольник диагональю AC
AC=AO+OC=3+9=12, BD=BO+OD=4+7=11. Диагональ AC делит ABCD на треугольники ABC и ADC. Так как BD⊥AC, отрезки BO и OD — высоты этих треугольников к общей стороне AC.
- Находим площади двух треугольников
S(ABC)=AC·BO:2=12·4:2=24, S(ADC)=AC·OD:2=12·7:2=42.
- Складываем
S=24+42=66. То же даёт формула S=AC·BD:2=12·11:2=66 — она верна для любого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями, даже если диагонали не делятся пополам. Ошибка — забыть деление на 2 и получить 132.
Ответ: 66