Условие
Клетки на рисунке — квадраты со стороной 1. Треугольник ABC прямоугольный, прямой угол при вершине C, а его катеты идут по диагоналям клеток. Чему равна площадь треугольника ABC?
Подсказка
Длина диагонали одной клетки 1×1 равна √2.
Найдите оба катета через √2, а площадь — как половину их произведения.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Находим длину катета CA
Из C в A катет проходит наискосок через 3 клетки, каждый раз по диагонали клетки. Диагональ клетки 1×1 равна √(1²+1²)=√2, поэтому CA=3√2. То же по теореме Пифагора: CA=√(3²+3²)=√18=3√2.
- Находим длину катета CB
Из C в B — 4 диагонали клеток: CB=4√2=√(4²+4²)=√32.
- Считаем площадь через катеты
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S=(CA·CB)/2=(3√2·4√2)/2=(12·2)/2=12. Корни исчезли, потому что √2·√2=2.
- Проверяем по клеткам
Ошибка — считать катетами числа клеток 3 и 4, тогда вышло бы 6: катет наискосок длиннее, чем число пересечённых клеток, в √2 раз.
Ответ: 12