Условие
Решите систему уравнений: y − |x| = 1, x² + y² = 13.
Подсказка
Выразите y из первого уравнения и заметьте, что x² = |x|².
Новая переменная t = |x| не может быть отрицательной.
Показать ответ
(−2; 3), (2; 3)
Пошаговое решение
- Выражаем y и вводим замену
Из первого уравнения y = |x| + 1. Так как x² = |x|², удобно обозначить t = |x|, t ≥ 0. Тогда y = t + 1, а второе уравнение: t² + (t + 1)² = 13.
- Решаем уравнение относительно t
t² + t² + 2t + 1 = 13, 2t² + 2t − 12 = 0, t² + t − 6 = 0. D = 1 + 24 = 25, t = (−1 ± 5)/2: t = 2 или t = −3.
- Отбираем значение t
t = |x| не может быть отрицательным, поэтому t = −3 отбрасываем. Остаётся |x| = 2, y = 2 + 1 = 3.
- Возвращаемся к x
|x| = 2 даёт два значения: x = −2 и x = 2. В обоих случаях y = 3.
- Проверяем и записываем ответ
Для (−2; 3): 3 − |−2| = 1 и 4 + 9 = 13; для (2; 3): 3 − 2 = 1 и 4 + 9 = 13 — верно. Типичные ошибки: оставить t = −3 и получить «y = −2», хотя y = |x| + 1 ≥ 1; или из |x| = 2 записать только x = 2 и потерять пару (−2; 3).
Ответ: (−2; 3), (2; 3)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (−2; 3), (2; 3): система сведена к t² + t − 6 = 0 с t = |x| ≥ 0, посторонний корень t = −3 исключён, из |x| = 2 получены оба значения x.
- 1
- Решение доведено до конца, но не исключён отрицательный корень t = −3 или потеряна одна из пар, либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.