Условие
Решите уравнение (x²−4x+1)²−5(x²−4x+1)+4=0.
Подсказка
Одно выражение встречается дважды; обозначьте его буквой.
После нахождения t нужно решить оба уравнения относительно x.
Показать ответ
0; 4; 2−√7; 2+√7
Пошаговое решение
- Вводим замену
Пусть t=x²−4x+1. Исходное уравнение определено при всех действительных x и превращается в t²−5t+4=0.
- Находим значения нового выражения
(t−1)(t−4)=0, поэтому t=1 или t=4.
- Решаем первую ветвь
x²−4x+1=1, то есть x(x−4)=0. Получаем x=0 или x=4.
- Решаем вторую ветвь
x²−4x+1=4, то есть (x−2)²=7. Получаем x=2−√7 или x=2+√7.
- Проверяем полноту
Все четыре значения различны. В каждой ветви выражение t равно одному из корней 1 и 4; подстановка даёт t²−5t+4=0. Все преобразования равносильны, других корней нет.
Ответ: 0; 4; 2−√7; 2+√7
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получены все четыре корня и записан полный ответ.
- 1
- Верная замена и корректный метод; одна вычислительная ошибка при дальнейших преобразованиях, не меняющая сути решения.
- 0
- Решение не удовлетворяет указанным критериям.