Условие
Решите систему уравнений: x³ + y³ = 35, x + y = 5.
Подсказка
Вспомните формулу суммы кубов и подставьте в неё x + y из второго уравнения.
Зная x + y и xy, числа x и y можно найти как корни квадратного уравнения.
Показать ответ
(2; 3), (3; 2)
Пошаговое решение
- Раскладываем сумму кубов
x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²). Из второго уравнения x + y = 5, поэтому первое уравнение принимает вид 5·(x² − xy + y²) = 35, откуда x² − xy + y² = 7.
- Выражаем x² + y² через сумму
(x + y)² = x² + 2xy + y² = 25. Вычитаем из этого равенства x² − xy + y² = 7: 3xy = 25 − 7 = 18, значит xy = 6.
- Получаем систему «сумма и произведение»
x + y = 5, xy = 6. По теореме, обратной теореме Виета, x и y — корни уравнения t² − 5t + 6 = 0. D = 25 − 24 = 1, t₁ = 2, t₂ = 3.
- Записываем пары
Числа 2 и 3 можно поставить в любом порядке: x = 2, y = 3 или x = 3, y = 2. Каждая пара удовлетворяет обоим уравнениям, других нет: переходы равносильны, потому что делили на x + y = 5 ≠ 0.
- Проверяем и отмечаем типичную ошибку
2³ + 3³ = 8 + 27 = 35, 2 + 3 = 5 — верно. Частая ошибка — считать, что x³ + y³ = (x + y)³; тогда получилось бы 125 ≠ 35 и система «не имела бы решений». Другая ошибка — записать только одну пару (2; 3) и потерять симметричную (3; 2).
Ответ: (2; 3), (3; 2)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (2; 3), (3; 2): применена формула суммы кубов, получено xy = 6, решена система «сумма и произведение» и записаны обе симметричные пары.
- 1
- Ход решения верный и доведён до ответа, но допущена одна вычислительная ошибка либо потеряна одна из двух симметричных пар.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.