Условие
Сократите дробь (x² − 4x − 21)/(x² − 49) и найдите её значение при x = 93.
Подсказка
Найдите корни квадратного трёхчлена в числителе, чтобы разложить его на множители.
Знаменатель — разность квадратов; после сокращения подставлять гораздо проще.
Показать ответ
0,96
Пошаговое решение
- Раскладываем числитель на множители
Корни x² − 4x − 21 = 0: D = 16 + 84 = 100, x = (4 ± 10)/2, то есть 7 и −3. Поэтому x² − 4x − 21 = (x − 7)(x + 3).
- Раскладываем знаменатель
По формуле разности квадратов x² − 49 = (x − 7)(x + 7). Дробь определена при x ≠ 7 и x ≠ −7.
- Сокращаем дробь
(x − 7)(x + 3)/((x − 7)(x + 7)) = (x + 3)/(x + 7) при x ≠ ±7. Число 93 допустимо, поэтому можно подставлять в сокращённую дробь.
- Подставляем x = 93
(93 + 3)/(93 + 7) = 96/100 = 0,96.
- Проверяем и отмечаем ошибку
Прямая подстановка: 93² − 4·93 − 21 = 8649 − 372 − 21 = 8256, 93² − 49 = 8600, 8256/8600 = 0,96 — совпадает. Типичная ошибка — разложить числитель как (x + 7)(x − 3) (перепутать знаки корней): тогда сокращение с x − 7 невозможно.
Ответ: 0,96
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 0,96: числитель и знаменатель разложены на множители, дробь сокращена до (x + 3)/(x + 7) с учётом x ≠ ±7, найдено значение при x = 93.
- 1
- Дробь сокращена верно, но при подстановке x = 93 допущена одна вычислительная ошибка, либо значение найдено прямой подстановкой без сокращения.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.