Условие
Решите систему уравнений: x² + xy = 12, y² + xy = 4.
Подсказка
Вынесите общий множитель в левой части каждого уравнения.
Сумма двух уравнений даёт полный квадрат; не забудьте про два знака корня.
Показать ответ
(−3; −1), (3; 1)
Пошаговое решение
- Выносим общий множитель
x² + xy = x(x + y), y² + xy = y(x + y). Система: x(x + y) = 12, y(x + y) = 4. Отсюда сразу видно, что x + y ≠ 0: иначе левая часть первого уравнения была бы равна 0, а не 12.
- Складываем уравнения
x(x + y) + y(x + y) = 12 + 4, то есть (x + y)² = 16. Значит, x + y = 4 или x + y = −4.
- Случай x + y = 4
Из первого уравнения 4x = 12, x = 3; из второго 4y = 4, y = 1. Сумма 3 + 1 = 4 — совпадает с предположением.
- Случай x + y = −4
−4x = 12, x = −3; −4y = 4, y = −1. Сумма −3 + (−1) = −4 — тоже согласована.
- Проверяем и записываем ответ
Для (3; 1): 9 + 3 = 12 и 1 + 3 = 4. Для (−3; −1): 9 + 3 = 12 и 1 + 3 = 4 — верно. Типичная ошибка: из (x + y)² = 16 взять только x + y = 4 и потерять пару (−3; −1).
Ответ: (−3; −1), (3; 1)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (−3; −1), (3; 1): после вынесения множителей и сложения получено (x + y)² = 16, рассмотрены оба случая x + y = 4 и x + y = −4.
- 1
- Верно получено (x + y)² = 16 и решение доведено до конца, но рассмотрен только один знак суммы либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.