Условие
Решите систему уравнений: (x + y)² − 2(x + y) = 15, x − y = 1.
Подсказка
Какое выражение с x и y встречается в первом уравнении дважды?
Каждое найденное значение суммы x + y вместе со вторым уравнением даёт линейную систему.
Показать ответ
(−1; −2), (3; 2)
Пошаговое решение
- Замечаем повторяющийся блок и вводим замену
Первое уравнение содержит x и y только в виде суммы x + y. Пусть t = x + y, тогда первое уравнение принимает вид t² − 2t − 15 = 0. Раскрывать (x + y)² не нужно.
- Решаем уравнение относительно t
D = (−2)² − 4·1·(−15) = 4 + 60 = 64, √D = 8, t = (2 ± 8)/2, откуда t = 5 или t = −3 (разложение (t − 5)(t + 3) = 0). Замена t = x + y не накладывает ограничений, подходят оба значения.
- Случай x + y = 5
Получаем линейную систему x + y = 5, x − y = 1. Складываем: 2x = 6, x = 3; вычитаем: 2y = 4, y = 2.
- Случай x + y = −3
Система x + y = −3, x − y = 1. Складываем: 2x = −2, x = −1; вычитаем: 2y = −4, y = −2.
- Проверяем пары и записываем ответ
(3; 2): 5² − 2·5 = 25 − 10 = 15 и 3 − 2 = 1. (−1; −2): (−3)² − 2·(−3) = 9 + 6 = 15 и −1 + 2 = 1 — верно. Типичные ошибки — потерять значение t = −3 и записать одну пару или во втором случае ошибиться в знаке y и получить пару (−1; 2), для которой x − y = −3 ≠ 1.
Ответ: (−1; −2), (3; 2)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (−1; −2), (3; 2): введена замена t = x + y, найдены t = 5 и t = −3, для каждого значения решена линейная система с x − y = 1 и записаны обе пары.
- 1
- Замена введена, оба значения t найдены и решение доведено до конца, но в одной из линейных систем допущена одна вычислительная ошибка при нахождении x или y.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.