Условие
Решите неравенство |x² − 5x| ≤ 6.
Подсказка
Как записать условие |A| ≤ 6 без модуля?
Получится два квадратных неравенства; ответ — их общая часть.
Показать ответ
[−1; 2] ∪ [3; 6]
Пошаговое решение
- Снимаем модуль
Для c > 0 условие |A| ≤ c равносильно двойному неравенству −c ≤ A ≤ c. Получаем систему: x² − 5x ≤ 6 и x² − 5x ≥ −6.
- Решаем первое неравенство
x² − 5x − 6 ≤ 0. Корни: по теореме Виета их сумма 5, произведение −6, это −1 и 6. Парабола ветвями вверх, поэтому решение — отрезок [−1; 6].
- Решаем второе неравенство
x² − 5x + 6 ≥ 0. Корни: сумма 5, произведение 6, это 2 и 3. Решение — вне корней: (−∞; 2] ∪ [3; +∞).
- Пересекаем решения
На числовой прямой отрезок [−1; 6] пересекается с (−∞; 2] ∪ [3; +∞): остаётся [−1; 2] и [3; 6]. Интервал (2; 3) выпадает.
- Проверяем и записываем ответ
x = 2,5: |6,25 − 12,5| = 6,25 > 6 — не решение, значит (2; 3) исключён верно. x = −1: |1 + 5| = 6 ≤ 6 и x = 6: |36 − 30| = 6 ≤ 6 — концы входят. Итог: [−1; 2] ∪ [3; 6]. Типичная ошибка — решить только x² − 5x ≤ 6 и получить [−1; 6].
Ответ: [−1; 2] ∪ [3; 6]
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ [−1; 2] ∪ [3; 6]: модуль снят через двойное неравенство, оба квадратных неравенства решены верно, выполнено пересечение, концы отрезков включены.
- 1
- Переход к системе двух неравенств выполнен верно и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка в корнях или ошибка при пересечении промежутков.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.