Условие
Решите уравнение (x²+2x)²−(x+1)²=55.
Подсказка
Как выражение x²+2x связано с (x+1)²?
После замены подумайте, какие значения может принимать новое неизвестное.
Показать ответ
−4; 2
Пошаговое решение
- Находим связь между выражениями
Выражения x²+2x и (x+1)² разные, но связаны выделением полного квадрата: (x+1)²=x²+2x+1, то есть x²+2x=(x+1)²−1. Раскрывать скобки и решать уравнение четвёртой степени не нужно.
- Вводим замену
Пусть t=(x+1)². Квадрат неотрицателен, поэтому t≥0. Тогда x²+2x=t−1, и уравнение принимает вид (t−1)²−t=55, то есть t²−2t+1−t−55=0, t²−3t−54=0.
- Решаем уравнение относительно t и отбираем корни
D=(−3)²−4·(−54)=9+216=225=15², t=(3±15)/2, откуда t=9 или t=−6. Значение t=−6 не подходит: t=(x+1)² не может быть отрицательным.
- Возвращаемся к x
(x+1)²=9, значит x+1=3 или x+1=−3, откуда x=2 или x=−4. Все переходы равносильны (уравнение определено при всех x), других корней нет.
- Проверяем корни и отмечаем ошибку
x=2: (4+4)²−3²=64−9=55. x=−4: (16−8)²−(−3)²=64−9=55 — верно. Можно было взять замену t=x²+2x: тогда (x+1)²=t+1, t²−t−56=0, t=8 или t=−7, и x²+2x=−7 корней не имеет — ответ тот же. Типичные ошибки — из (x+1)²=9 взять только x+1=3 и потерять −4 или не отбросить t=−6.
Ответ: −4; 2
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ −4; 2: замечено x²+2x=(x+1)²−1, введена замена (t=(x+1)² или t=x²+2x), значение t, не дающее корней, отброшено с обоснованием, найдены оба значения x.
- 1
- Связь выражений найдена, замена введена и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка при решении уравнения относительно t или при возврате к x.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.