Условие
Найдите все решения системы x² − 5xy + 6y² = 0, x + y = 12.
Подсказка
Первое уравнение можно разложить на два линейных множителя, как квадратный трёхчлен относительно x.
Каждый множитель, равный нулю, вместе со вторым уравнением даёт простую линейную систему.
Показать ответ
(8; 4), (9; 3)
Пошаговое решение
- Раскладываем однородное уравнение на множители
Левая часть первого уравнения — квадратный трёхчлен относительно x с параметром y: x² − 5xy + 6y² = (x − 2y)(x − 3y), так как 2y + 3y = 5y и 2y·3y = 6y². Произведение равно нулю, значит x = 2y или x = 3y.
- Случай x = 2y
Подставляем во второе уравнение: 2y + y = 12, 3y = 12, y = 4, x = 8.
- Случай x = 3y
3y + y = 12, 4y = 12, y = 3, x = 9.
- Проверяем, что ничего не потеряно
Мы не делили на y, поэтому случай y = 0 не потерян: он входит в обе ветви (тогда x = 0), но пара (0; 0) не удовлетворяет x + y = 12.
- Проверяем и записываем ответ
(8; 4): 64 − 160 + 96 = 0, 8 + 4 = 12. (9; 3): 81 − 135 + 54 = 0, 9 + 3 = 12 — верно. Типичная ошибка — разложить как (x + 2y)(x + 3y) и получить x = −2y: тогда −y = 12, y = −12, пара (24; −12), которая первому уравнению не удовлетворяет (576 + 1440 + 864 ≠ 0).
Ответ: (8; 4), (9; 3)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (8; 4), (9; 3): однородное уравнение разложено на (x − 2y)(x − 3y), рассмотрены обе ветви x = 2y и x = 3y вместе с уравнением x + y = 12.
- 1
- Разложение на (x − 2y)(x − 3y) верное, обе ветви рассмотрены и решение доведено до конца, но в одной из ветвей допущена одна вычислительная ошибка при нахождении x или y.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.