ОГЭ, задание 20: Система уравнений

Можно ли делить обе части на x − 3, если его знак неизвестен?

Перенесите всё в одну часть и найдите общий множитель.

1. Не делим на выражение с переменной

   Знак x − 3 заранее неизвестен, поэтому делить на него нельзя: при x − 3 < 0 знак неравенства поменялся бы, а при x = 3 деление невозможно. Переносим всё в левую часть: (x − 3)² − √5·(x − 3) < 0.

2. Выносим общий множитель

   Общий множитель x − 3 выносим за скобки: (x − 3)(x − 3 − √5) < 0.

3. Находим и сравниваем корни

   Множители обращаются в нуль при x = 3 и x = 3 + √5. Так как √5 > 0, то 3 < 3 + √5 (примерно 3 + 2,24 = 5,24).

4. Определяем знак произведения

   Левая часть — квадратный трёхчлен относительно x со старшим коэффициентом 1 > 0, он отрицателен строго между корнями: 3 < x < 3 + √5. Концы не входят — неравенство строгое.

5. Проверяем и записываем ответ

   При x = 4: (4 − 3)² = 1, а √5·1 ≈ 2,24, и 1 < 2,24 — верно. При x = 0: 9 < −3√5 — неверно. Итог: интервал (3; 3 + √5). Типичная ошибка — разделить на x − 3 и получить x < 3 + √5, потеряв условие x > 3.

Ответ: (3; 3 + √5)

2

Обоснованно получен ответ (3; 3 + √5): выполнен перенос и вынесение общего множителя (x − 3)(x − 3 − √5) < 0 без деления на x − 3, корни упорядочены, концы исключены.

1

Разложение на множители выполнено верно и решение доведено до конца, но допущена одна ошибка: включены концы 3 и 3 + √5 при строгом знаке либо одна вычислительная ошибка во втором корне.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.