ОГЭ, задание 20: Система уравнений

Какое выражение встречается в обеих частях неравенства? Может ли оно быть положительным или нулём?

Что происходит со знаком неравенства при делении обеих частей на отрицательное выражение?

1. Переносим всё в одну часть и выносим общий множитель

   x²(−x² − 49) − 49(−x² − 49) ≤ 0. Выражение −x² − 49 есть в обоих слагаемых, выносим его: (−x² − 49)(x² − 49) ≤ 0.

2. Определяем знак общего множителя

   x² ≥ 0 при любом x, поэтому −x² − 49 ≤ −49 < 0: множитель отрицателен при всех x и в ноль не обращается. Раскрывать скобки и получать неравенство четвёртой степени не нужно.

3. Делим на отрицательное выражение

   Делим обе части на −x² − 49 < 0; при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: x² − 49 ≥ 0. Деление здесь законно, потому что знак множителя известен и он не равен нулю.

4. Решаем квадратное неравенство

   x² − 49 = (x − 7)(x + 7) ≥ 0. Корни −7 и 7, парабола ветвями вверх, она неотрицательна вне интервала между корнями, включая сами корни: x ≤ −7 или x ≥ 7.

5. Проверяем и записываем ответ

   x = 0: 0 ≤ 49·(−49) — неверно, 0 не решение. x = 8: 64·(−113) = −7232 ≤ 49·(−113) = −5537 — верно. x = 7: обе части равны 49·(−98), неравенство нестрогое — верно. Итог: (−∞; −7] ∪ [7; +∞). Типичная ошибка — разделить на −x² − 49, не сменив знак, и получить x² ≤ 49, то есть [−7; 7]; но, например, x = 0 неравенству не удовлетворяет.

Ответ: (−∞; −7] ∪ [7; +∞)

2

Обоснованно получен ответ (−∞; −7] ∪ [7; +∞): вынесен общий множитель −x² − 49, доказано, что он отрицателен при всех x, при делении на него знак неравенства изменён, концы ±7 включены.

1

Знак множителя −x² − 49 обоснован, знак неравенства изменён верно и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка в корнях или не включены концы ±7.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.