Условие
Решите систему уравнений: x² − 4y = 5, 3x + 4y = 13.
Подсказка
Посмотрите на коэффициенты при y в двух уравнениях: что будет, если их сложить?
После нахождения x удобнее искать y из линейного уравнения.
Показать ответ
(−6; 31/4), (3; 1)
Пошаговое решение
- Замечаем противоположные коэффициенты при y
В первом уравнении стоит −4y, во втором +4y. Если сложить уравнения почленно, слагаемые с y взаимно уничтожатся, и останется уравнение с одной переменной x. Сложение равносильно: систему можно заменить на «сумма уравнений и второе уравнение».
- Складываем уравнения
(x² − 4y) + (3x + 4y) = 5 + 13, то есть x² + 3x = 18, или x² + 3x − 18 = 0.
- Решаем квадратное уравнение
D = 3² − 4·1·(−18) = 9 + 72 = 81, √D = 9. x₁ = (−3 − 9)/2 = −6, x₂ = (−3 + 9)/2 = 3. Разложение для контроля: x² + 3x − 18 = (x + 6)(x − 3).
- Находим y из линейного уравнения
Из второго уравнения 4y = 13 − 3x, y = (13 − 3x)/4. При x = −6: 4y = 13 + 18 = 31, y = 31/4. При x = 3: 4y = 13 − 9 = 4, y = 1.
- Проверяем пары и записываем ответ
Подставляем в первое уравнение: (−6)² − 4·(31/4) = 36 − 31 = 5 и 3² − 4·1 = 9 − 4 = 5 — верно. Типичная ошибка — при x = −6 посчитать 4y = 13 − 18 = −5, забыв, что −3·(−6) = +18, и записать неверную пару (−6; −5/4): она не проходит проверку, ведь 36 + 5 = 41 ≠ 5.
Ответ: (−6; 31/4), (3; 1)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (−6; 31/4), (3; 1): уравнения сложены, верно решено x² + 3x − 18 = 0, для обоих значений x найдены y (в том числе дробное 31/4).
- 1
- Метод сложения применён и доведён до конца, но в одном из значений y (или x) допущена одна вычислительная ошибка, либо найдена только одна пара из двух.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.