ОГЭ, задание 20: Система уравнений

Какой знак может иметь (x − 4)² и когда он равен нулю?

Неравенство нестрогое: проверьте точки, где левая часть обращается в ноль.

1. Находим нули множителей

   Множитель (x − 4)² равен нулю при x = 4, множитель x + 1 — при x = −1. Эти точки делят числовую прямую на промежутки (−∞; −1), (−1; 4) и (4; +∞).

2. Разбираемся со знаком квадрата

   (x − 4)² ≥ 0 при любом x и равен нулю только при x = 4. Поэтому при x ≠ 4 квадрат положителен и знак произведения совпадает со знаком x + 1. Для таких x неравенство равносильно x + 1 ≤ 0, то есть x ≤ −1.

3. Отдельно рассматриваем x = 4

   При x = 4 левая часть равна 0²·5 = 0, а неравенство 0 ≤ 0 верно (оно нестрогое). Значит, x = 4 тоже решение, хотя 4 не лежит на луче x ≤ −1.

4. Сверяемся методом интервалов

   Знаки на промежутках: при x = −2 получаем 36·(−1) = −36 < 0; при x = 0 получаем 16·1 = 16 > 0; при x = 5 получаем 1·6 = 6 > 0. При переходе через x = 4 знак не меняется — корень чётной кратности, поэтому чередование знаков здесь нарушается.

5. Записываем ответ и ищем ошибку

   Решения — луч (−∞; −1] и ещё одна отдельная точка x = 4; запись «(−∞; −1] и x = 4» означает объединение луча и этой точки. Типичная ошибка — «сократить» на (x − 4)², считая его положительным, и потерять x = 4.

Ответ: (−∞; −1] и x = 4

2

Обоснованно получен ответ (−∞; −1] и x = 4: учтено, что (x − 4)² ≥ 0, и отдельно проверена точка x = 4, в которой нестрогое неравенство обращается в верное равенство 0 ≤ 0.

1

Решение доведено до конца и луч (−∞; −1] найден верно, но потеряна изолированная точка x = 4 либо допущена одна вычислительная ошибка при верном методе интервалов.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.