Условие
За 3 часа первый насос откачивает столько же воды, сколько второй насос за 5 часов. Работая одновременно, два насоса откачали всю воду из котлована за 15 часов. За сколько часов откачает всю эту воду один второй насос?
Подсказка
Одинаковый объём работы: производительность первого, умноженная на его время, равна тому же для второго.
Выразите производительность первого насоса через производительность второго.
Показать ответ
40
Пошаговое решение
- Вводим производительности
Примем объём воды в котловане за 1. Пусть первый насос откачивает за час p₁ этого объёма, второй — p₂, p₁>0, p₂>0.
- Переводим первое условие в уравнение
Работа равна производительности, умноженной на время: 3p₁ = 5p₂. Отсюда p₁ = (5/3)·p₂ — первый насос мощнее, ведь ему нужно меньше времени на тот же объём.
- Используем совместную работу
Вместе за 15 ч они откачали всю воду: 15(p₁ + p₂) = 1. Подставляем: 15·(5/3 + 1)p₂ = 1, то есть 15·(8/3)·p₂ = 1, 40p₂ = 1, p₂ = 1/40.
- Находим время второго насоса
Один второй насос откачает воду за 1 : p₂ = 40 ч.
- Проверяем
p₁ = (5/3)·(1/40) = 1/24, то есть первый насос один справился бы за 24 ч. 1/24 + 1/40 = 5/120 + 3/120 = 8/120 = 1/15 — условие выполнено. Типичная ошибка — перепутать отношение и записать 5p₁ = 3p₂; тогда второй насос окажется мощнее и получится 24 ч.
Ответ: 40
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 40: пояснены производительности, условие о равной работе записано как 3p₁ = 5p₂, составлено уравнение совместной работы, найдено время второго насоса.
- 1
- Модель составлена верно и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка при действиях с дробями, не повлиявшая на ход решения.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.