Условие
Автомобиль проехал первую половину пути с постоянной скоростью, а вторую половину пути — со скоростью 90 км/ч. Средняя скорость автомобиля на всём пути оказалась равной 60 км/ч. Найдите скорость автомобиля на первой половине пути. Ответ дайте в км/ч.
Подсказка
Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время, а не полусумма скоростей.
Обозначьте половину пути буквой: при решении она сократится.
Показать ответ
45
Пошаговое решение
- Вводим переменные
Пусть x км/ч — скорость на первой половине пути (x > 0), 2S км — весь путь, тогда каждая половина равна S км.
- Выражаем время
Первая половина заняла S/x ч, вторая — S/90 ч. Всё время: S/x + S/90.
- Составляем уравнение средней скорости
Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время: 2S/(S/x + S/90) = 60. Сокращаем на S ≠ 0: 2/(1/x + 1/90) = 60, то есть 1/x + 1/90 = 2/60 = 1/30.
- Решаем уравнение
1/x = 1/30 − 1/90 = 3/90 − 1/90 = 2/90 = 1/45, откуда x = 45.
- Проверяем
Пусть S = 90 км: время 90 : 45 + 90 : 90 = 2 + 1 = 3 ч, путь 180 км, средняя скорость 180 : 3 = 60 км/ч. Типичная ошибка — считать среднюю скорость средним арифметическим: (x + 90) : 2 = 60 даёт x = 30, но тогда средняя скорость на самом деле 2 : (1/30 + 1/90) = 45 км/ч.
Ответ: 45
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Средняя скорость обоснованно выражена как весь путь, делённый на всё время, неизвестная длина пути сокращена, уравнение решено, получен ответ 45 км/ч.
- 1
- Верно составлено уравнение 2S/(S/x + S/90) = 60, но при работе с дробями допущена одна вычислительная ошибка, с её учётом решение доведено до конца.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.