Условие
Две бригады, работая вместе, могут отремонтировать участок дороги за 12 дней. Сначала первая бригада отремонтировала половину участка, после чего вторая бригада отремонтировала вторую половину. В результате на весь ремонт ушло 25 дней. За сколько дней может отремонтировать весь участок одна первая бригада, если она работает быстрее второй?
Подсказка
Сколько дней тратит каждая бригада на половину участка, если весь она ремонтирует за a и b дней?
Из двух условий получаются сумма и произведение времён a и b.
Показать ответ
20
Пошаговое решение
- Вводим переменные
Примем весь участок за 1. Пусть первая бригада ремонтирует его одна за a дней, вторая — за b дней, a>0, b>0, по условию a<b. Их производительности — 1/a и 1/b участка в день.
- Записываем условие о половинах
Половину участка первая бригада ремонтирует за a/2 дней, вторая — за b/2 дней. Всего a/2 + b/2 = 25, значит, a + b = 50.
- Записываем условие о совместной работе
Вместе за день бригады ремонтируют 1/a + 1/b = (a+b)/(ab) участка, это 1/12. Отсюда ab = 12·(a+b) = 12·50 = 600.
- Находим a и b
Числа a и b имеют сумму 50 и произведение 600, поэтому по теореме, обратной теореме Виета, они — корни уравнения t² − 50t + 600 = 0. D = 2500 − 2400 = 100 = 10², t = (50 ± 10)/2, то есть 20 и 30.
- Выбираем по смыслу и проверяем
Оба корня положительны; первая бригада быстрее, значит a = 20, b = 30. Проверка: 20/2 + 30/2 = 25 дней; 1/20 + 1/30 = 3/60 + 2/60 = 1/12. Типичная ошибка — выбрать больший корень 30: это время более медленной второй бригады.
Ответ: 20
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 20: пояснены переменные a и b, составлены оба уравнения (a + b = 50, ab = 600), найдены оба корня и выбран меньший, так как первая бригада быстрее.
- 1
- Система составлена верно и решена до конца, но допущена одна вычислительная ошибка, либо найдены оба значения времени без обоснованного выбора, какое из них относится к первой бригаде.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.