Условие
Расстояние между пристанями A и B равно 80 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 20 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Подсказка
Сколько времени был в пути плот, если его скорость равна скорости течения?
Яхта вышла позже плота, а вернулась в A в тот момент, о котором говорится в условии.
Показать ответ
18
Пошаговое решение
- Находим время яхты
Плот плывёт со скоростью течения 2 км/ч, значит, 20 км он проплыл за 20 : 2 = 10 ч. Яхта отправилась на 1 ч позже и вернулась в тот же момент, поэтому была в пути 10 − 1 = 9 ч.
- Составляем уравнение
Пусть v км/ч — скорость яхты в неподвижной воде (v > 2). По течению её скорость v + 2, против — v − 2. 80/(v + 2) + 80/(v − 2) = 9.
- Приводим к квадратному уравнению
Умножаем на (v + 2)(v − 2) = v² − 4 > 0: 80(v − 2) + 80(v + 2) = 9(v² − 4), то есть 160v = 9v² − 36. Получаем 9v² − 160v − 36 = 0.
- Решаем и отбираем корень
D = 160² + 4·9·36 = 25 600 + 1296 = 26 896 = 164². v = (160 + 164)/18 = 324/18 = 18 или v = (160 − 164)/18 = −2/9. Скорость яхты больше скорости течения, поэтому v = 18.
- Проверяем
80 : 20 + 80 : 16 = 4 + 5 = 9 ч — совпадает. Типичная ошибка — не учесть, что яхта вышла на час позже, и приравнять её время к 10 ч: тогда уравнение 10v² − 160v − 40 = 0 не даёт целого корня.
Ответ: 18
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно найдено время яхты 9 ч (время плота минус задержка), составлено уравнение 80/(v + 2) + 80/(v − 2) = 9, отброшен отрицательный корень, получен ответ 18 км/ч.
- 1
- Верно найдено время яхты и составлено уравнение, но при решении квадратного уравнения допущена одна вычислительная ошибка, с её учётом решение доведено до конца.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.