Условие
В первом сосуде 20 кг 30-процентного раствора кислоты, во втором — 30 кг 80-процентного раствора той же кислоты. Из каждого сосуда отлили одинаковое количество раствора, после чего отлитое из первого сосуда вылили во второй, а отлитое из второго — в первый. После перемешивания концентрации кислоты в сосудах стали одинаковыми. Сколько килограммов раствора отлили из каждого сосуда?
Подсказка
Изменились ли массы растворов в сосудах после обмена равными порциями?
Выразите массу кислоты в каждом сосуде после обмена через x и приравняйте концентрации.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Вводим переменную
Пусть из каждого сосуда отлили x кг раствора, 0<x<20. Сосуды обменялись равными массами, поэтому масса раствора в первом сосуде осталась 20 кг, во втором — 30 кг.
- Выражаем массу кислоты в каждом сосуде
В первом осталось 20−x кг 30-процентного раствора и добавилось x кг 80-процентного: кислоты 0,3(20−x)+0,8x=6+0,5x кг. Во втором: 0,8(30−x)+0,3x=24−0,5x кг.
- Составляем уравнение
Концентрации равны: (6+0,5x)/20=(24−0,5x)/30. Умножим обе части на 60: 3(6+0,5x)=2(24−0,5x), то есть 18+1,5x=48−x.
- Решаем уравнение
2,5x=30, x=12. Условие 0<x<20 выполнено. Заметим, что общая концентрация тогда равна (6+24):(20+30)=60 % — как если бы слили всё вместе.
- Проверяем и разбираем ошибку
В первом сосуде кислоты 6+6=12 кг из 20 кг — 60 %, во втором 24−6=18 кг из 30 кг — 60 %. Типичная ошибка — считать, что масса раствора в сосуде стала 20−x кг: сосуды обменялись равными порциями, и массы не изменились.
Ответ: 12
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Верно введены и описаны переменные, составлена модель ((6+0,5x)/20=(24−0,5x)/30 при неизменных массах сосудов), решение доведено до конца и получен ответ на вопрос задачи: из каждого сосуда отлили 12 кг.
- 1
- Модель ((6+0,5x)/20=(24−0,5x)/30 при неизменных массах сосудов) составлена верно и ход решения правильный, но допущена одна вычислительная ошибка, например при раскрытии скобок или при переносе слагаемых; с её учётом решение доведено до конца.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.