ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

Запишите условия |x| ≥ 1 и |x| < 1 без модуля: какие части графика где расположены?

Прямая y = kx всегда проходит через начало координат; сколько раз она может пересечь каждую часть?

1. Расшифровываем условия и строим график

   |x| ≥ 1 — это x ≤ −1 или x ≥ 1: там график — две ветви гиперболы y = 3/x, точки (1; 3), (3; 1), (−1; −3), (−3; −1), оси — асимптоты. |x| < 1 — это −1 < x < 1: там отрезок прямой y = 3x между точками (−1; −3) и (1; 3). В этих точках формулы совпадают (3/1 = 3·1), график непрерывен.

2. Общие точки с отрезком

   kx = 3x ⇔ (k − 3)x = 0. При k = 3 прямая y = 3x содержит весь отрезок — общих точек бесконечно много. При k ≠ 3 единственное решение x = 0, точка (0; 0) лежит на отрезке: одна общая точка.

3. Общие точки с гиперболой

   kx = 3/x ⇔ x² = 3/k: решений нет при k ≤ 0; при k > 0 x = ±√(3/k), и условие |x| ≥ 1 даёт 3/k ≥ 1, то есть 0 < k ≤ 3. Тогда точки две, по одной на каждой ветви.

4. Собираем результат

   k ≤ 0: только (0; 0) — одна точка; 0 < k < 3: (0; 0) и две точки гиперболы — три; k = 3: бесконечно много (точки гиперболы при k = 3 — это концы отрезка (±1; ±3)); k > 3: одна точка (0; 0). Ровно три общие точки при 0 < k < 3.

5. Проверяем и отмечаем ошибки

   k = 1: прямая y = x проходит через (0; 0), (√3; √3) и (−√3; −√3), |±√3| ≥ 1 — три точки. Типичные ошибки — включить k = 3, посчитав только точки (0; 0), (1; 3), (−1; −3) и забыв, что прямая накрывает весь отрезок, или решать kx = 3/x без условия |x| ≥ 1 и получить промежуток k > 0.

Ответ: (0; 3)

2

График построен верно (ветви гиперболы y = 3/x при |x| ≥ 1 и отрезок y = 3x между (−1; −3) и (1; 3)), верно найден промежуток 0 < k < 3: граница 0 — гипербола не пересекается, k = 3 исключено (бесконечно много точек).

1

График построен верно, но искомые значения k найдены неверно или не все: например, включено k = 3 или не учтено условие |x| ≥ 1 и получен ответ k > 0.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.