ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

Через какую точку проходят все прямые вида y = kx? Нарисуйте несколько таких прямых поверх графика.

Найдите значения k, при которых прямая y = kx проходит через вершину угла и при которых она параллельна одному из лучей.

1. Строим график

   Левая часть — луч y = −x при x ≤ −2: точки (−2; 2) — закрашенная, (−4; 4), (−6; 6). Правая часть — луч y = 2x + 6 при x > −2: точки (−1; 4), (0; 6); при x = −2 он подходит к той же точке (−2; 2). График — «угол» с вершиной (−2; 2), весь он лежит выше оси Ox.

2. Пересечение y = kx с левым лучом

   Все прямые y = kx проходят через начало координат. Уравнение kx = −x равносильно (k + 1)x = 0. Если k ≠ −1, то x = 0, но 0 не удовлетворяет условию x ≤ −2 — общих точек нет. Если k = −1, прямая y = −x содержит весь левый луч — общих точек бесконечно много.

3. Пересечение y = kx с правым лучом

   kx = 2x + 6, (k − 2)x = 6. При k = 2 прямая параллельна лучу — точек нет. Иначе x = 6/(k − 2), нужно x > −2. При k > 2 корень положителен — подходит. При k < 2 знаменатель отрицателен: 6/(k − 2) > −2 ⇔ 6 < −2(k − 2) (знак неравенства меняется при умножении на k − 2 < 0) ⇔ 6 < −2k + 4 ⇔ k < −1.

4. Собираем результат

   k < −1: одна точка на правом луче; k = −1: бесконечно много; −1 < k ≤ 2: ни одной; k > 2: одна. Геометрически: прямая y = −x проходит через вершину угла и содержит левый луч, а прямая y = 2x параллельна правому лучу — это и есть граничные положения.

5. Проверяем и отмечаем ошибку

   k = −3: x = 6/(−5) = −1,2 > −2, точка (−1,2; 3,6) лежит на правом луче — одна точка. k = 3: x = 6, точка (6; 18). Типичная ошибка — включить k = −1, решив, что прямая лишь «касается» вершины угла, хотя она совпадает с целым лучом, или включить k = 2, где прямая параллельна лучу.

Ответ: (−∞; −1) ∪ (2; +∞)

2

График построен верно (лучи y = −x при x ≤ −2 и y = 2x + 6 при x > −2 с вершиной (−2; 2)), верно найдены все k: k < −1 и k > 2, исключены k = −1 (бесконечно много точек) и k = 2 (параллельность).

1

График построен верно, но искомые значения k найдены неверно или не все: например, включено k = −1 или k = 2, либо потерян один из двух промежутков.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.