Условие
Функция y = f(x) задана на трёх промежутках: f(x) = x + 4 при x < −1, f(x) = 1 − x при −1 ≤ x ≤ 2, f(x) = x − 3 при x > 2. Постройте её график. Укажите все m, для которых горизонтальная прямая y = m пересекает график ровно дважды.
Подсказка
Вычислите значения соседних формул в точках x = −1 и x = 2: где график непрерывен, а где делает скачок?
Для каждой части найдите её множество значений, а затем сложите число точек на всех частях.
Показать ответ
−1; (2; 3)
Пошаговое решение
- Строим три части графика
Левый луч y = x + 4 при x < −1: точки (−2; 2), (−4; 0); при x → −1 он подходит к (−1; 3), но эта точка не входит — рисуем пустой кружок. Отрезок y = 1 − x при −1 ≤ x ≤ 2: от (−1; 2) до (2; −1), оба конца закрашены. Правый луч y = x − 3 при x > 2: точки (3; 0), (5; 2); при x = 2 он подходит к (2; −1), которая уже есть на отрезке.
- Замечаем скачок и находим множества значений
В точке x = −1 график делает скачок вниз: слева значения подходят к 3, а сама точка графика — (−1; 2). Значения частей: левый луч — (−∞; 3), отрезок — [−1; 2], правый луч — (−1; +∞).
- Считаем точки на каждой части
Левый луч: x = m − 4 < −1 при m < 3 — одна точка. Отрезок: x = 1 − m, нужно −1 ≤ 1 − m ≤ 2, то есть −1 ≤ m ≤ 2 — одна точка. Правый луч: x = m + 3 > 2 при m > −1 — одна точка.
- Складываем количества
m < −1: 1 + 0 + 0 = 1; m = −1: 1 + 1 + 0 = 2 (точки (−5; −1) и (2; −1)); −1 < m ≤ 2: 1 + 1 + 1 = 3; 2 < m < 3: 1 + 0 + 1 = 2; m = 3: 0 + 0 + 1 = 1 (точка (−1; 3) выколота); m > 3: 0 + 0 + 1 = 1. Ровно две общие точки при m = −1 и при 2 < m < 3.
- Проверяем концы и отмечаем ошибки
m = 2: прямая проходит через закрашенную точку (−1; 2) и пересекает оба луча — точек три, 2 не входит. m = 3: левый луч дал бы x = −1, но эта точка выколота, — точка одна, 3 не входит. Типичные ошибки — не заметить скачок и считать ломаную непрерывной (тогда ответ −1; 2), посчитать точку (2; −1) дважды или потерять изолированное значение m = −1.
Ответ: −1; (2; 3)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- График построен верно (луч y = x + 4 с выколотой точкой (−1; 3), отрезок от (−1; 2) до (2; −1), луч y = x − 3 при x > 2), верно найдены все m: m = −1 и 2 < m < 3, с обоснованием, почему концы 2 и 3 не входят.
- 1
- График построен верно, но искомые значения m найдены неверно или не все: например, потеряно m = −1, включено m = 2 (там три точки) или m = 3 (точка (−1; 3) выколота).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.