Условие
Постройте график функции y = (2x² + 5x + 2)/(x² + x − 2). Укажите все значения m, при которых прямая y = m не пересекает построенный график.
Подсказка
Разложите числитель и знаменатель на множители и выделите у дроби целую часть.
Горизонтальная прямая может не пересечь график по двум разным причинам.
Показать ответ
1; 2
Пошаговое решение
- Раскладываем числитель и знаменатель
x² + x − 2 = (x + 2)(x − 1), поэтому x ≠ −2 и x ≠ 1. Для числителя D = 25 − 16 = 9, корни (−5 ± 3)/4, то есть −1/2 и −2: 2x² + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2). При x ≠ −2 сокращаем: y = (2x + 1)/(x − 1).
- Выделяем целую часть
2x + 1 = 2(x − 1) + 3, поэтому y = 2 + 3/(x − 1). Это гипербола y = 3/x, сдвинутая на 1 вправо и на 2 вверх; асимптоты x = 1 и y = 2. Опорные точки: (0; −1), (−2; 1), (2; 5), (4; 3), (−1; 1/2).
- Находим выколотую точку
При x = −2 по сокращённой формуле y = 2 + 3/(−3) = 1. Точка (−2; 1) лежит на гиперболе, но выколота.
- Разбираем горизонтальные прямые
2 + 3/(x − 1) = m ⇔ 3/(x − 1) = m − 2. При m = 2 решений нет: дробь с числителем 3 не равна нулю. При m ≠ 2 x = 1 + 3/(m − 2) — ровно одно решение, и оно недопустимо, только если равно −2: 3/(m − 2) = −3, m − 2 = −1, m = 1.
- Записываем результат и проверяем
Общих точек нет при m = 1 (прямая проходит через выколотую точку) и m = 2 (асимптота). Типичная ошибка — назвать только асимптоту y = 2, как у обычной гиперболы, или подставить x = −2 в исходную дробь и решить, что точки при x = −2 «нет вообще», не найдя её ординату.
Ответ: 1; 2
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- График построен верно (с выколотыми точками), обоснованно найдены все искомые значения: 1; 2. Выделена целая часть, найдены асимптота y = 2 и ордината выколотой точки (−2; 1).
- 1
- График построен верно, выколотые точки отмечены, но искомые значения параметра найдены неверно или не все: например, указана только асимптота m = 2 без ординаты выколотой точки m = 1 или неверно найдена эта ордината.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.