Условие
Постройте график функции, которая при x > −2 равна x² + 4, а при x ≤ −2 равна −8/x. Выясните, для каких k прямая y = kx не пересекается с этим графиком.
Подсказка
Для гиперболической части выразите x² через k и учтите условие x ≤ −2.
Для параболы найдите касательные через D = 0 и проверьте, принадлежат ли точки касания графику.
Показать ответ
[−4; −2) ∪ [0; 4)
Пошаговое решение
- Строим график
При x > −2 — часть параболы y = x² + 4 с вершиной (0; 4): точки (−1; 5), (1; 5), (2; 8); при x → −2 значение подходит к 8, точка (−2; 8) выколота. При x ≤ −2 — ветвь гиперболы y = −8/x: (−2; 4) — закрашенная, (−4; 2), (−8; 1); при x → −∞ она прижимается к оси Ox сверху. В точке x = −2 график делает скачок.
- Общие точки прямой y = kx с гиперболой
−8/x = kx ⇔ x² = −8/k, решения есть только при k < 0, и нужна отрицательная абсцисса x = −√(−8/k). Условие x ≤ −2 означает −8/k ≥ 4, то есть −2 ≤ k < 0. При k = −2 точка (−2; 4) — закрашенный конец гиперболы, она входит.
- Общие точки с параболой
x² + 4 = kx ⇔ x² − kx + 4 = 0, D = k² − 16. При −4 < k < 4 корней нет. При k = 4 касание в точке (2; 8). При k = −4 двойной корень x = −2 — это выколотая точка, общих точек нет. При k < −4 корни отрицательны, их произведение 4, поэтому один лежит в (−2; 0), а другой левее −2 — на параболе одна точка. При k > 4 корни положительны — две точки.
- Собираем результат
k < −4: 1 + 0; k = −4: 0 + 0; −4 < k < −2: 0 + 0; −2 ≤ k < 0: 0 + 1; k = 0: прямая y = 0 не пересекает ни гиперболу (−8/x ≠ 0), ни параболу (x² + 4 > 0) — 0; 0 < k < 4: 0; k = 4: 1; k > 4: 2. Общих точек нет при −4 ≤ k < −2 и при 0 ≤ k < 4.
- Проверяем концы и отмечаем ошибки
k = −4 входит: прямая y = −4x касается параболы как раз в выколотой точке (−2; 8). k = −2 не входит: прямая y = −2x проходит через закрашенную точку (−2; 4). k = 0 входит: ось Ox — асимптота гиперболы. Типичные ошибки — записать (−4; −2), не заметив, что точка касания выколота, или включить k = −2, перепутав, какой из концов в точке x = −2 закрашен.
Ответ: [−4; −2) ∪ [0; 4)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- График построен верно (часть параболы y = x² + 4 при x > −2 с выколотой точкой (−2; 8) и ветвь гиперболы y = −8/x при x ≤ −2 с точкой (−2; 4)), верно найдены все k: −4 ≤ k < −2 и 0 ≤ k < 4, с обоснованием каждого конца.
- 1
- График построен верно, но искомые значения k найдены неверно или не все: например, не включено k = −4 (касание в выколотой точке) или k = 0, либо включено k = −2 или k = 4.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.