ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

После сокращения получится гипербола; не забудьте абсциссу, при которой обращается в нуль сокращённый множитель.

Прямая y = kx при k > 0 пересекает гиперболу дважды — когда одна из двух точек пропадает?

1. Находим область определения и сокращаем

   Знаменатель 2x² − 3x = x(2x − 3), поэтому x ≠ 0 и x ≠ 3/2. При этих x сокращаем на 2x − 3: y = 1/x. График — гипербола в I и III четвертях с выколотой точкой при x = 3/2: y = 1 : (3/2) = 2/3, точка (3/2; 2/3).

2. Составляем уравнение для общих точек

   1/x = kx при x ≠ 0 и x ≠ 3/2. Умножаем на x ≠ 0: kx² = 1.

3. Разбираем знак k

   При k = 0 получаем 0 = 1 — решений нет. При k < 0 левая часть kx² ≤ 0 < 1 — решений нет. При k > 0 x = 1/√k или x = −1/√k: прямая пересекает обе ветви гиперболы в точках, симметричных относительно начала координат, то есть обычно общих точек две.

4. Учитываем выколотую точку

   Ровно одна точка останется, если одна из двух абсцисс равна 3/2 (абсцисса −3/2 при этом допустима). Тогда k = 1/x² = 1 : (9/4) = 4/9, прямая y = (4/9)x проходит через выколотую точку (3/2; 2/3) и через точку (−3/2; −2/3) графика.

5. Записываем результат и проверяем

   Проверка: при k = 4/9 уравнение (4/9)x² = 1 даёт x² = 9/4, x = ±3/2, и x = 3/2 исключено — общая точка одна. Типичная ошибка — ответить «таких k нет», рассуждая только о гиперболе y = 1/x и забыв про выколотую точку, или взять k = 9/4, перепутав x² и 1/x².

Ответ: 4/9

2

График построен верно (с выколотыми точками), обоснованно найдены все искомые значения: 4/9. Обосновано, что при k ≤ 0 общих точек нет, а при k > 0 их две, и найдено k по выколотой точке (3/2; 2/3).

1

График построен верно, выколотые точки отмечены, но искомые значения параметра найдены неверно или не все: например, не учтена выколотая точка (3/2; 2/3) и сделан вывод, что при k > 0 точек всегда две, или допущена ошибка в вычислении k = 1 : (3/2)².

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.