Условие
Постройте график функции y = (x² − 9)/(x + 3) − (x² − 2x)/x. При каких значениях k прямая y = kx не имеет с построенным графиком общих точек?
Подсказка
Сократите каждую дробь отдельно, сохранив оба ограничения на x.
Прямая y = kx всегда проходит через начало координат; какие выколотые точки она может задеть?
Показать ответ
0; 1/3
Пошаговое решение
- Находим область определения
Знаменатели x + 3 и x не должны обращаться в нуль: x ≠ −3 и x ≠ 0. Эти ограничения сохраняются и после упрощения.
- Упрощаем каждую дробь
(x² − 9)/(x + 3) = (x − 3)(x + 3)/(x + 3) = x − 3 при x ≠ −3; (x² − 2x)/x = x(x − 2)/x = x − 2 при x ≠ 0. Тогда y = (x − 3) − (x − 2) = −1.
- Строим график
График — горизонтальная прямая y = −1, из которой выколоты две точки: (−3; −1) и (0; −1).
- Ищем общие точки с прямой y = kx
kx = −1 при x ≠ −3, x ≠ 0. Если k = 0, получаем 0 = −1 — прямая y = 0 параллельна графику, общих точек нет. Если k ≠ 0, x = −1/k. Эта абсцисса никогда не равна 0, но равна −3 при −1/k = −3, то есть k = 1/3: прямая y = x/3 проходит через выколотую точку (−3; −1) — общих точек нет. При остальных k точка одна.
- Записываем результат и проверяем
Общих точек нет при k = 0 и k = 1/3. Проверка: при k = 1/3 уравнение x/3 = −1 даёт только x = −3, а оно исключено. Типичные ошибки: не заметить, что функция постоянна, или искать k для выколотой точки (0; −1) — прямая y = kx через неё не проходит ни при каком k.
Ответ: 0; 1/3
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- График построен верно (с выколотыми точками), обоснованно найдены все искомые значения: 0; 1/3. Обосновано, что функция постоянна с двумя выколотыми точками, разобраны случаи k = 0 и прохождения через (−3; −1).
- 1
- График построен верно, выколотые точки отмечены, но искомые значения параметра найдены неверно или не все: например, потеряно k = 0 (прямая параллельна графику) или вместо k = 1/3 искалась прямая через выколотую точку (0; −1).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.