Условие
Постройте график функции y = −x² − 2x + 3 при x ≥ −2, y = −8/x при x < −2. Найдите все значения m, при каждом из которых прямая y = m пересекает этот график ровно в трёх точках.
Подсказка
Для каждой части графика отдельно выясните, какие значения она принимает и сколько раз.
Сравните значения обеих формул при x = −2: какая из двух точек принадлежит графику, а какая выколота?
Показать ответ
[3; 4)
Пошаговое решение
- Строим параболическую часть
−x² − 2x + 3 = −(x + 1)² + 4: парабола с ветвями вниз и вершиной (−1; 4). При x ≥ −2 берём точки (−2; 3) — закрашенную, (−1; 4), (0; 3), (1; 0), (2; −5). Левее вершины эта часть поднимается от 3 до 4, правее — опускается неограниченно вниз.
- Строим часть гиперболы
y = −8/x при x < −2: x = −4 даёт y = 2, x = −8 даёт y = 1, x = −16 даёт y = 1/2. При приближении x к −2 значение приближается к −8/(−2) = 4, но x = −2 не входит, поэтому точка (−2; 4) выколота (пустой кружок). При x → −∞ ветвь прижимается к оси Ox сверху. Значения этой части — промежуток (0; 4). В точке x = −2 график делает скачок: слева он подходит к уровню 4, а сама точка графика — (−2; 3).
- Считаем точки на каждой части
Парабола: −(x + 1)² + 4 = m, x = −1 ± √(4 − m). Левый корень подходит, если −1 − √(4 − m) ≥ −2, то есть √(4 − m) ≤ 1, m ≥ 3. Поэтому при m = 4 точка одна (вершина), при 3 ≤ m < 4 — две, при m < 3 — одна. Гипербола: −8/m = x < −2 возможно только при 0 < m < 4 (тогда 8/m > 2), и точка одна.
- Складываем количества
m > 4: 0 точек; m = 4: 1 (гипербола не даёт точку, она выколота); 3 ≤ m < 4: 2 + 1 = 3; 0 < m < 3: 1 + 1 = 2; m ≤ 0: 1. Ровно три общие точки получаются при 3 ≤ m < 4.
- Проверяем концы промежутка и отмечаем ошибку
m = 3: точки (−2; 3) и (0; 3) на параболе и (−8/3; 3) на гиперболе, −8/3 < −2 — три точки, значит 3 входит в ответ. m = 4: гипербола дала бы x = −2, но эта точка выколота; остаётся только вершина. Типичные ошибки — записать открытый промежуток (3; 4), потеряв m = 3, или включить 4, не отметив выколотую точку (−2; 4).
Ответ: [3; 4)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- График построен верно (часть параболы с вершиной (−1; 4) при x ≥ −2 и ветвь гиперболы при x < −2 с выколотой точкой (−2; 4)), верно найдены все m из промежутка [3; 4): обосновано включение 3 и исключение 4.
- 1
- График построен верно, но искомые значения m найдены неверно или не все: например, потеряно значение m = 3 или ошибочно включено m = 4.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.