Условие
Постройте график функции y = (|x| − 1)/(|x| − x²). Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком ни одной общей точки.
Подсказка
Запишите x² как |x|² и разложите знаменатель на множители.
После сокращения получится функция вида −1/|x|; проверьте, какие точки её графика выколоты.
Показать ответ
−1; 0; 1
Пошаговое решение
- Находим область определения
Так как x² = |x|², знаменатель |x| − x² = |x|·(1 − |x|). Он равен нулю при x = 0 и при |x| = 1. Значит, x ≠ 0, x ≠ −1, x ≠ 1.
- Упрощаем формулу
(|x| − 1)/(|x|·(1 − |x|)) = −(1 − |x|)/(|x|·(1 − |x|)) = −1/|x|. При x > 0: y = −1/x, при x < 0: y = 1/x. Это две ветви гипербол, обе ниже оси Ox и симметричные относительно Oy; оси координат — асимптоты. Точки: (1/2; −2), (2; −1/2) и симметричные им.
- Отмечаем выколотые точки
При x = 1 и x = −1 значение −1/|x| равно −1, но эти x не входят в область определения. Точки (1; −1) и (−1; −1) рисуем пустыми кружками.
- Разбираем прямые y = kx
k = 0: прямая y = 0 — асимптота, общих точек нет. k > 0: прямая идёт через III четверть: kx = 1/x, x² = 1/k, x = −1/√k — одна точка, но при k = 1 это x = −1, точка выколота. k < 0: прямая идёт через IV четверть: −1/x = kx, x² = −1/k, x = 1/√(−k); при k = −1 это выколотая точка x = 1.
- Проверяем и записываем ответ
Общих точек нет при k = −1, k = 0 и k = 1. Проверка k = 1: прямая y = x могла бы пересечь ветвь y = 1/x только в точке (−1; −1), а она выколота. Типичные ошибки — забыть k = 0 (асимптота) или сократить дробь, не выписав ограничения x ≠ ±1, и тогда потерять k = ±1.
Ответ: −1; 0; 1
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- График построен верно: y = −1/|x| с выколотыми точками (−1; −1) и (1; −1); обоснованно найдены все три значения k: −1 и 1 (прямые через выколотые точки) и 0 (асимптота).
- 1
- График построен верно, но значения k найдены неверно или не все (например, потеряно k = 0 или не учтены выколотые точки, из-за чего пропущены k = −1 и k = 1).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.