ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

Разложите числитель как биквадратный трёхчлен, а знаменатель — по теореме Виета.

Найдите ординаты выколотых точек по сокращённой формуле и проверьте эти уровни отдельно.

1. Находим область определения

   Знаменатель x² − x − 2 раскладываем по теореме Виета: его корни 2 и −1 (сумма 1, произведение −2), поэтому x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1). Функция определена при x ≠ 2 и x ≠ −1.

2. Раскладываем числитель и сокращаем дробь

   Числитель биквадратный: при t = x² получаем t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4). Значит, x⁴ − 5x² + 4 = (x² − 1)(x² − 4) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2). На области определения множители (x − 2) и (x + 1) не равны нулю, их можно сократить: y = (x − 1)(x + 2) = x² + x − 2 при x ≠ 2, x ≠ −1.

3. Строим параболу и выкалываем точки

   Ветви параболы направлены вверх, абсцисса вершины x₀ = −1/2, ордината y₀ = 1/4 − 1/2 − 2 = −9/4. Опорные точки: (−2; 0), (1; 0), (0; −2), (−3; 4). Выколотые точки получаем подстановкой в сокращённую формулу: x = 2 даёт y = 4 + 2 − 2 = 4, точка (2; 4); x = −1 даёт y = 1 − 1 − 2 = −2, точка (−1; −2).

4. Разбираем горизонтальные прямые

   При m < −9/4 общих точек нет, при m = −9/4 одна (вершина). При m > −9/4 прямая пересекает параболу в двух точках, симметричных относительно x = −1/2, и остаётся проверить уровни выколотых точек. m = 4: x² + x − 6 = 0, x = 2 (выколота) или x = −3 — одна точка. m = −2: x² + x = 0, x = −1 (выколота) или x = 0 — одна точка. При остальных m > −9/4 обе точки допустимы.

5. Записываем результат и проверяем ловушки

   Ровно две общие точки при −9/4 < m < −2, −2 < m < 4 и m > 4. Типичные ошибки: включить в ответ вершину m = −9/4 (там точка одна), исключить только один из уровней −2 и 4 или искать ординату выколотой точки подстановкой x = −1 в исходную дробь (получается 0/0) вместо сокращённой формулы.

Ответ: (−9/4; −2) ∪ (−2; 4) ∪ (4; +∞)

2

График построен верно (с выколотыми точками), обоснованно найдены все искомые значения: (−9/4; −2) ∪ (−2; 4) ∪ (4; +∞). Обоснованы сокращение дроби, координаты вершины и обеих выколотых точек, исключены уровни −2 и 4.

1

График построен верно, выколотые точки отмечены, но искомые значения параметра найдены неверно или не все: например, не исключён один из уровней выколотых точек m = −2, m = 4 или включён уровень вершины m = −9/4.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.