ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

Одна общая точка с прямой, проходящей через начало координат, — это касание одной из частей графика.

Условие D = 0 даёт по два значения k для каждой части; проверьте знак абсциссы точки касания.

1. Строим график

   Функция чётная. При x ≥ 0: y = x² − 2x + 4 = (x − 1)² + 3 — вершина (1; 3), точки (0; 4), (2; 4), (3; 7). Отражаем относительно Oy: вершина (−1; 3). Весь график выше оси Ox, начало координат лежит под ним.

2. Составляем уравнение для правой части

   При x ≥ 0: x² − 2x + 4 = kx, то есть x² − (2 + k)x + 4 = 0. По теореме Виета произведение корней равно 4 > 0, а сумма равна 2 + k. Дискриминант D = (2 + k)² − 16.

3. Находим касание

   D = 0 при 2 + k = ±4, то есть k = 2 или k = −6. При k = 2 корень x = 2 ≥ 0: прямая y = 2x касается правой части в точке (2; 4). При k = −6 корень x = −2 < 0 — это не точка правой части, такое k постороннее.

4. Считаем точки на обеих частях

   Правая часть: при k > 2 D > 0, сумма и произведение корней положительны — две точки; при k = 2 одна; при k < 2 точек нет (D < 0 или оба корня отрицательны). По симметрии левая часть: при k < −2 две точки, при k = −2 одна (касание в (−2; 4)), при k > −2 ни одной.

5. Записываем ответ

   Итого: при |k| > 2 две точки, при −2 < k < 2 ни одной, ровно одна — при k = −2 и k = 2. Типичная ошибка — взять из условия D = 0 и значения k = ±6, не проверив, что точка касания лежит на нужной части графика: при k = −6 касание было бы в точке x = −2 продолжения параболы (x − 1)² + 3, которого на графике нет.

Ответ: −2; 2

2

График построен верно (части парабол с вершинами (1; 3) и (−1; 3)), обоснованно найдены k = −2 и k = 2 с проверкой точек касания; посторонние значения k = ±6 отброшены.

1

График построен верно, но значения k найдены неверно или не все (например, в ответ включены k = ±6 или найдено только одно из значений ±2).

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.