Условие
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC на средней линии выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.
Подсказка
Расстояния от средней линии до обоих оснований равны половине высоты трапеции.
Запишите площади двух треугольников через основания AD, BC и высоту h/2.
Показать ответ
Доказано
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Расстояния от средней линии до обоих оснований равны половине высоты трапеции. Запишите площади двух треугольников через основания AD, BC и высоту h/2.
- Вводим обозначения
Пусть h — высота трапеции.
- Выполняем преобразование
Средняя линия параллельна основаниям и равноудалена от них, поэтому высоты треугольников BEC и AED, проведённые из E к BC и AD, равны h/2.
- Выполняем преобразование
Тогда S(BEC)=BC·h/4, S(AED)=AD·h/4.
- Выполняем преобразование
Их сумма (AD+BC)h/4.
- Получаем следующий результат
Площадь трапеции равна (AD+BC)h/2, следовательно, найденная сумма составляет половину площади трапеции.
- Выполняем преобразование
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано