Условие
Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Подсказка
Достройте треугольник до прямоугольника или используйте окружность с диаметром-гипотенузой.
Середина гипотенузы является центром описанной окружности.
Показать ответ
Доказано
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Достройте треугольник до прямоугольника или используйте окружность с диаметром-гипотенузой. Середина гипотенузы является центром описанной окружности.
- Вводим обозначения
Пусть ∠C=90°, M — середина гипотенузы AB.
- Выполняем преобразование
Окружность с диаметром AB проходит через C по теореме Фалеса.
- Выполняем преобразование
Её центр — точка M, а радиусы MA, MB и MC равны.
- Выполняем преобразование
Так как MA=AB/2, то и медиана CM=AB/2.
- Выполняем преобразование
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано