Условие
Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Подсказка
Обозначьте стороны векторами a и b.
Диагонали соответствуют векторам a+b и a-b.
Показать ответ
Доказано
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Обозначьте стороны векторами a и b. Диагонали соответствуют векторам a+b и a-b.
- Вводим обозначения
Пусть соседние стороны параллелограмма заданы векторами a и b.
- Выполняем преобразование
Тогда диагонали имеют векторы a+b и a-b.
- Выполняем преобразование
По формуле скалярного произведения |a+b|²+|a-b|²=(|a|²+2a·b+|b|²)+(|a|²-2a·b+|b|²)=2|a|²+2|b|².
- Выполняем преобразование
Правая часть равна сумме квадратов четырёх сторон параллелограмма.
- Выполняем преобразование
Тождество доказано.
Ответ: Доказано