Задание 24 ОГЭ: Геометрия: доказательство

1. Задача 1В трапеции ABCD с основаниями AD и BC на средней линии выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине…
2. Задача 2Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
3. Задача 3Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
4. Задача 4Из одной точки P к окружности проведены касательные PA и PB. Докажите, что PA=PB.
5. Задача 5Докажите, что сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна 180°.
6. Задача 6В трапеции ABCD точки, являющиеся серединами боковых сторон, соединены отрезком. Докажите, что этот отрезок параллелен основаниям.
7. Задача 7В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке M. Докажите, что AM=CM и BM=DM.
8. Задача 8В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы AB. Докажите, что MA=MB=MC.
9. Задача 9Из точки M к окружности проведены касательные MA и MB. Докажите, что прямая, соединяющая M с центром окружности, является биссектрисой угла AMB.
10. Задача 10Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что ∠A+∠C=180°.
11. Задача 11В равнобедренном треугольнике ABC, где AB=AC, проведена высота AM к основанию BC. Докажите, что BM=MC.
12. Задача 12В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC точка D лежит на продолжении стороны AB за точку B, BK — биссектриса угла CBD. Докажите, что прямые BK и AC…
13. Задача 13На сторонах AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC отмечены точки K, L и M соответственно так, что AK=BL=CM. Докажите, что треугольник KLM равносторонний.
14. Задача 14В треугольнике ABC медиана BM является биссектрисой угла ABC. Докажите, что AB=BC.
15. Задача 15На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки M и N так, что BM:MA=BN:NC=2:1. Докажите, что прямые MN и AC параллельны, а площадь треугольника MBN…
16. Задача 16В треугольнике ABC проведена медиана BM. Из вершин A и C на прямую BM опущены перпендикуляры AK и CP. Докажите, что AK=CP.
17. Задача 17В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и CE: D лежит на AC, E лежит на AB. Докажите, что AB·AE=AC·AD.
18. Задача 18Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что S(AOB)·S(COD) = S(BOC)·S(AOD), где S — площадь треугольника.
19. Задача 19В квадрате ABCD точка E — середина стороны BC, точка F — середина стороны CD. Докажите, что отрезки AE и BF перпендикулярны.
20. Задача 20В выпуклом четырёхугольнике ABCD противолежащие стороны попарно равны: AB = CD и BC = AD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
21. Задача 21Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Из точки O на стороны AB, BC, CD и DA опущены перпендикуляры OK, OL, OM и ON соответственно. Докажите, что OK =…
22. Задача 22В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены медианы AM и CN к боковым сторонам. Докажите, что AM=CN.
23. Задача 23Серединный перпендикуляр к стороне AC треугольника ABC пересекает сторону AC в точке H, а сторону BC — в точке K. Докажите, что периметр треугольника ABK…
24. Задача 24В окружности с центром O проведены равные хорды AB и CD, не являющиеся диаметрами. OH и OK — перпендикуляры, опущенные из центра на эти хорды (H лежит на AB,…
25. Задача 25Две окружности пересекаются в точках A и B. Прямая, проходящая через A, вторично пересекает первую окружность в точке C, а вторую — в точке D; прямая,…
26. Задача 26Отрезок AB — диаметр окружности с центром O. Касательная к этой окружности в точке M, отличной от A и B, пересекает касательные, проведённые в точках A и B, в…
27. Задача 27Две окружности пересекаются в точках A и B, причём отрезок AB не является диаметром ни одной из них. AC — диаметр первой окружности, AD — диаметр второй.…
28. Задача 28Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка M. Докажите, что сумма площадей треугольников ABM и CDM равна половине площади параллелограмма.
29. Задача 29В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями BC и AD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям, а диагонали AC и BD перпендикулярны. Докажите, что AB² =…
30. Задача 30Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая MN касается первой окружности в точке M, а второй — в точке N. Докажите, что угол MKN прямой.
31. Задача 31Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке I. Луч AI вторично пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке W. Докажите,…
32. Задача 32Из точки P, лежащей вне окружности, проведены касательная PA (A — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках B и C, причём точка B лежит…
33. Задача 33Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке E. Докажите, что AE·EB=CE·ED.
34. Задача 34Около трапеции ABCD с основаниями AD и BC описана окружность. Докажите, что трапеция равнобедренная, то есть AB=CD.
35. Задача 35В параллелограмме ABCD точки E и F — середины сторон BC и AD соответственно. Отрезки AE и CF пересекают диагональ BD в точках P и Q. Докажите, что BP = PQ = QD.
36. Задача 36В треугольнике ABC медианы AD и BE пересекаются в G. Докажите, что площади треугольников ABG и BCG равны. Если площадь ABG равна 18, найдите площадь ABC.
37. Задача 37В треугольнике ABC сторона AB больше стороны AC, AL — биссектриса треугольника. Докажите, что угол ALB тупой.
38. Задача 38В треугольнике ABC угол ACB тупой. Из вершин A и B проведены высоты AA₁ и BB₁ к прямым BC и AC. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.
39. Задача 39Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и равны AC=10, BD=14. K, L, M, N — середины AB, BC, CD, DA соответственно. Докажите, что KLMN —…
40. Задача 40В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB; она пересекает сторону AC в точке E. Докажите, что AE=DE.
41. Задача 41В параллелограмме ABCD из вершин B и D на диагональ AC опущены перпендикуляры BH и DK, точки H и K не совпадают. Докажите, что четырёхугольник BHDK —…
42. Задача 42Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 7 и 28, а диагональ BD равна 14. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
43. Задача 43В выпуклой трапеции ABCD основания AB=14, CD=8, боковые стороны AD=BC=5. а) Докажите, что углы при основании AB равны. б) Найдите высоту трапеции.
44. Задача 44В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC прямая, параллельная AC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что AN=CM.
45. Задача 45В параллелограмме ABCD, не являющемся ромбом, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K, углов B и C — в точке L, углов C и D — в точке M, углов D и A —…
46. Задача 46В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны BC. Известно, что AE = DE. Докажите, что ABCD — прямоугольник.
47. Задача 47В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность. Докажите, что AD+BC=AB+CD.

Другие номера: №1 · №2 · №3 · №4 · №5 · №6 · №7 · №8 · №9 · №10 · №11 · №12 · №13 · №14 · №15 · №16 · №17 · №18 · №19 · №20 · №21 · №22 · №23 · №25