Условие
В квадрате ABCD точка E — середина стороны BC, точка F — середина стороны CD. Докажите, что отрезки AE и BF перпендикулярны.
Подсказка
Найдите два равных прямоугольных треугольника, гипотенузы которых — AE и BF.
Как угол ABF и угол CBF связаны с прямым углом квадрата?
Показать ответ
AE ⊥ BF
Пошаговое решение
- Сравниваем треугольники ABE и BCF
Оба треугольника прямоугольные: ∠ABE=∠BCF=90° как углы квадрата. Катеты AB=BC как стороны квадрата, BE=CF как половины равных сторон BC и CD.
- Доказываем их равенство
Треугольники ABE и BCF равны по двум катетам. Отсюда соответствующие острые углы равны: ∠BAE=∠CBF (оба лежат против равных катетов BE и CF).
- Рассматриваем точку пересечения
Пусть P — точка пересечения AE и BF. В треугольнике ABP угол при A равен ∠BAE, а угол при B равен ∠ABF. Так как ∠BAE=∠CBF, сумма ∠PAB+∠PBA=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°.
- Находим угол APB
По сумме углов треугольника ∠APB=180°−90°=90°, то есть отрезки AE и BF перпендикулярны.
- Проверяем обоснования и типичную ошибку
Нужно явно указать, какие углы соответствуют друг другу при равенстве треугольников: угол BAE лежит против катета BE, а угол CBF — против равного ему катета CF. Ошибка — заявить перпендикулярность «по рисунку» или сравнивать треугольники ABE и ADF, которые не равны.
Ответ: AE ⊥ BF
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: доказано равенство треугольников ABE и BCF по двум катетам с указанием причин равенства катетов, выведено ∠BAE=∠CBF и отсюда, через сумму углов треугольника с вершиной в точке пересечения, получен прямой угол.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: например, соответствие углов при равенстве треугольников указано неверно или без пояснения, либо переход от ∠BAE=∠CBF к прямому углу между AE и BF не расписан.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.