ОГЭ, задание 24: Геометрия: доказательство

На какие треугольники диагонали разбивают ромб и почему эти треугольники равны?

Перпендикуляр из O на сторону — это высота одного из этих треугольников. Как высота связана с площадью и основанием?

1. Вспоминаем свойства ромба

   Ромб — параллелограмм, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO=CO, BO=DO. Кроме того, все стороны ромба равны: AB=BC=CD=DA.

2. Доказываем равенство четырёх треугольников

   Треугольники AOB, COB, COD и AOD имеют соответственно равные стороны: AB=CB=CD=AD, AO=CO, BO=DO. Значит, они равны по трём сторонам, и их площади равны. Обозначим эту площадь S.

3. Выражаем перпендикуляры через площадь

   OK — высота треугольника AOB, проведённая к стороне AB, поэтому S=AB·OK/2 и OK=2S/AB. Точно так же OL=2S/BC, OM=2S/CD, ON=2S/DA.

4. Делаем вывод

   Числители 2S одинаковы, знаменатели равны как стороны ромба, поэтому все четыре перпендикуляра равны.

5. Проверяем обоснования и типичную ошибку

   Ошибка — сослаться на то, что O — центр вписанной в ромб окружности: это как раз следствие доказываемого утверждения. Другой путь тоже верен: AC — биссектриса угла A, и прямоугольные треугольники AOK и AON равны по гипотенузе AO и острому углу; но тогда свойство диагоналей ромба (они лежат на биссектрисах углов) нужно назвать явно.

Ответ: OK=OL=OM=ON

2

Доказательство верное, все шаги обоснованы: из свойств ромба (равные стороны, диагонали делятся пополам) выведено равенство треугольников AOB, COB, COD, AOD, и через равные площади и равные основания получено равенство всех четырёх перпендикуляров.

1

Доказательство в целом верное, но содержит неточность: например, равенство треугольников заявлено без названия признака или без ссылки на AO=CO и BO=DO, либо доказано равенство только двух перпендикуляров, а остальные не рассмотрены.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.