ОГЭ, задание 24: Геометрия: доказательство

У треугольников AOB и BOC общая вершина B. Как относятся их площади?

Сравните так же треугольники AOD и COD и составьте пропорцию.

1. Сравниваем треугольники с общей вершиной B

   Четырёхугольник выпуклый, поэтому O лежит внутри обеих диагоналей и отрезки AO и OC лежат на одной прямой AC. Треугольники AOB и BOC имеют общую вершину B, а их основания AO и OC лежат на прямой AC, поэтому высота, проведённая из B к прямой AC, у них общая. Значит, S(AOB) : S(BOC) = AO : OC.

2. Сравниваем треугольники с общей вершиной D

   Так же у треугольников AOD и COD общая вершина D и основания AO и OC на прямой AC, высота из D к прямой AC общая. Значит, S(AOD) : S(COD) = AO : OC.

3. Приравниваем отношения

   Правые части равны, поэтому S(AOB) : S(BOC) = S(AOD) : S(COD).

4. Применяем основное свойство пропорции

   Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних: S(AOB)·S(COD) = S(BOC)·S(AOD), что и требовалось доказать.

5. Проверяем обоснования и типичную ошибку

   Нужно явно сказать, почему у треугольников общая высота: основания лежат на одной прямой AC, а вершина общая. Можно рассуждать и через формулу S = ½·ab·sin φ: синусы смежных углов при точке O равны. Типичная ошибка — объявить треугольники AOB и COD подобными: это верно только для трапеции, а здесь четырёхугольник произвольный.

Ответ: S(AOB)·S(COD)=S(BOC)·S(AOD)

2

Доказательство верное, все шаги обоснованы: показано, что у треугольников AOB и BOC (а также AOD и COD) общая высота к прямой AC, получены отношения S(AOB) : S(BOC) = AO : OC и S(AOD) : S(COD) = AO : OC, и по свойству пропорции выведено нужное равенство.

1

Доказательство в целом верное, но содержит неточность: например, отношение площадей треугольников записано как отношение оснований без объяснения, что высота из общей вершины одна и та же, а остальные переходы верны.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.