Условие
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены медианы AM и CN к боковым сторонам. Докажите, что AM=CN.
Подсказка
Найдите два треугольника, сторонами которых являются медианы AM и CN.
Что известно об углах при основании равнобедренного треугольника?
Показать ответ
AM=CN
Пошаговое решение
- Записываем, что дано
Треугольник равнобедренный с основанием AC, значит, AB=BC. M — середина BC, N — середина AB. Отрезки AM и CN будем сравнивать как стороны треугольников ANC и CMA, у которых есть общая сторона AC.
- Сравниваем половины боковых сторон
AN=AB/2 и CM=BC/2, а AB=BC, поэтому AN=CM.
- Сравниваем углы при основании
∠NAC — это угол BAC, ∠MCA — это угол BCA. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, ∠NAC=∠MCA.
- Применяем первый признак равенства
В треугольниках ANC и CMA: AN=CM, AC — общая сторона, ∠NAC=∠MCA — угол между этими сторонами. По двум сторонам и углу между ними треугольники равны (A↔C, N↔M).
- Делаем вывод
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны: NC=MA, то есть AM=CN. Можно рассуждать и через треугольники ABM и CBN (AB=CB, BM=BN, угол B общий). Типичная ошибка — сослаться на «симметрию рисунка» или взять угол, не лежащий между равными сторонами.
Ответ: AM=CN
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: показано, что AN=CM как половины равных боковых сторон, что углы NAC и MCA равны как углы при основании, и равенство треугольников ANC и CMA (или ABM и CBN) получено по первому признаку, откуда AM=CN.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: равенство треугольников записано верно, но не обосновано одно из равенств элементов (например, не сказано, почему AN=CM или почему равны углы при основании).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.