ОГЭ, задание 24: Геометрия: доказательство

Разбейте четырёхугольник диагональю на два треугольника и сравните их.

Какие углы при диагонали AC окажутся равными и какими они являются для прямых AB и CD?

1. Проводим диагональ

   Проведём диагональ AC. Она разбивает четырёхугольник на треугольники ABC и CDA; так как ABCD выпуклый, вершины B и D лежат по разные стороны от прямой AC.

2. Доказываем равенство треугольников

   В треугольниках ABC и CDA: AB=CD и BC=DA по условию, AC — общая сторона. Значит, треугольники равны по трём сторонам.

3. Выписываем равные углы

   Против равных сторон лежат равные углы: против BC и DA — углы BAC и DCA, поэтому ∠BAC=∠DCA; против AB и CD — углы BCA и DAC, поэтому ∠BCA=∠DAC.

4. Получаем параллельность сторон

   Углы BAC и DCA — накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC (B и D по разные стороны от AC), они равны, значит AB ∥ CD. Аналогично из ∠BCA=∠DAC следует BC ∥ AD. Противоположные стороны попарно параллельны — ABCD параллелограмм по определению.

5. Проверяем обоснования и типичную ошибку

   Частая ошибка — перепутать соответствие углов: равны углы, лежащие против равных сторон, а не «стоящие на одном месте». Вторая — не сказать, почему углы накрест лежащие: для этого и нужна выпуклость (B и D по разные стороны от AC). Ссылаться на признак параллелограмма «по двум парам равных сторон» нельзя — именно его и требуется доказать.

Ответ: ABCD — параллелограмм

2

Доказательство верное, все шаги обоснованы: проведена диагональ, доказано равенство треугольников ABC и CDA по трём сторонам, верно указаны равные углы и как накрест лежащие они дают AB ∥ CD и BC ∥ AD.

1

Доказательство в целом верное, но содержит неточность: например, перепутано соответствие равных углов, или вывод о параллельности сделан только для одной пары сторон, или не объяснено, почему углы накрест лежащие.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.