Условие
Отрезок AB — диаметр окружности с центром O. Касательная к этой окружности в точке M, отличной от A и B, пересекает касательные, проведённые в точках A и B, в точках C и D соответственно. Докажите, что угол COD прямой.
Подсказка
Сравните треугольники OAC и OMC. Что можно сказать о луче OC?
Углы AOM и MOB вместе составляют развёрнутый угол. Чему равен угол между их биссектрисами?
Показать ответ
∠COD=90°
Пошаговое решение
- Доказываем, что OC — биссектриса угла AOM
Проведём радиус OM. CA и CM — отрезки касательных из точки C, поэтому CA=CM. В треугольниках OAC и OMC: OA=OM (радиусы), CA=CM, сторона OC общая. Треугольники равны по трём сторонам, значит, ∠AOC=∠MOC, то есть OC — биссектриса угла AOM.
- Доказываем, что OD — биссектриса угла BOM
Аналогично DB=DM как отрезки касательных из точки D, OB=OM, OD — общая сторона. Треугольники OBD и OMD равны по трём сторонам, поэтому ∠BOD=∠MOD.
- Используем смежные углы
Точки A, O, B лежат на одной прямой, поэтому углы AOM и MOB смежные: ∠AOM+∠MOB=180°.
- Складываем половины смежных углов
Лучи OC и OD лежат по разные стороны от луча OM (внутри углов AOM и MOB соответственно), поэтому ∠COD=∠COM+∠MOD=(1/2)·∠AOM+(1/2)·∠MOB=(1/2)·180°=90°.
- Записываем вывод
∠COD=90°, что и требовалось доказать: биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Типичная ошибка — доказать только, что OC и OD — биссектрисы, и не объяснить, почему сумма углов COM и MOD равна половине развёрнутого угла AOB.
Ответ: ∠COD=90°
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: из равенства отрезков касательных и радиусов доказано, что OC и OD — биссектрисы углов AOM и BOM, с учётом того, что эти углы смежные, получено ∠COD=90°.
- 1
- Доказательство в целом верное, но не обосновано одно из утверждений: что OC (или OD) — биссектриса (нет ссылки на равенство отрезков касательных или признак равенства треугольников), либо не сказано, что углы AOM и MOB смежные.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.