Условие
Серединный перпендикуляр к стороне AC треугольника ABC пересекает сторону AC в точке H, а сторону BC — в точке K. Докажите, что периметр треугольника ABK равен AB+BC.
Подсказка
Чем замечательна любая точка серединного перпендикуляра к отрезку AC?
Сравните треугольники AHK и CHK.
Показать ответ
P(ABK)=AB+BC
Пошаговое решение
- Записываем, что дано
Прямая HK — серединный перпендикуляр к AC: H — середина AC, то есть AH=HC, и HK⟂AC. Периметр треугольника ABK равен AB+BK+KA.
- Доказываем, что KA=KC
Треугольники AHK и CHK прямоугольные (угол H прямой), катеты AH и CH равны, катет HK общий. По двум катетам треугольники равны, значит, их гипотенузы равны: KA=KC.
- Подставляем в периметр
P(ABK)=AB+BK+KA=AB+BK+KC.
- Используем положение точки K
Точка K лежит на стороне BC, то есть между B и C, поэтому BK+KC=BC. Значит, P(ABK)=AB+BC.
- Проверяем рассуждение
Доказано: периметр треугольника ABK равен AB+BC. Типичные ошибки — писать KA=KC «по рисунку», не доказав равенство треугольников AHK и CHK, и забыть, что BK+KC=BC верно только потому, что K лежит на отрезке BC.
Ответ: P(ABK)=AB+BC
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: доказано равенство KA=KC (равенство прямоугольных треугольников AHK и CHK по двум катетам или ссылка на свойство серединного перпендикуляра), выполнена замена в периметре и использовано BK+KC=BC, так как K лежит на стороне BC.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: равенство KA=KC использовано без обоснования (взято с рисунка), либо не пояснено, почему BK+KC=BC, а остальная часть доказательства верна.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.